Sudut dan Garis Singgung Lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

            Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang terbentuk oleh dua jari-jari lingkaran, sedangkan sudut keliling lingkaran adalah sudut yang terbentuk oleh dua tali busur.

 

Gambar 1

Sudut pusat ditunjukkan dengan ∠AOB, sedangkan sudut keliling ditunjukkan dengan ∠ACB dan ∠ADB. Jika sudut keliling menghadap sudut pusat seperti gambar diatas, maka berlaku:

∠AOB = 2 x ∠ACB atau ∠ADB

Sifat-sifat sudut pada lingkaran:

1.      Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.

2.      Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran, maka besarnya 90˚.

3.      Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan adalah 180˚

Contoh soal:

Diketahui ∠BOC = 72˚. Berapakah besar ∠ADC?

Jawab:

∠AOC = 180˚ - ∠BOC                               = 180˚ - 72˚             = 108˚

∠ADC = ½ x ∠AOC             = ½ x 108˚             = 54˚

Garis Singgung Lingkaran

            Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang melalui titik singgungnya. Untuk mengukur panjang garis singgung kita perlu menggunakan teorema pythagoras.

 

Gambar 2. AB adalah garis singgung

1.      Garis Singgung yang Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran

 

              Gambar 3

Perhatikan ∆AOB, berlaku teorema pythagoras:

OB² = AB² + AO²

Dengan keterangan:

            OB = jarak titik ke pusat lingkaran

            AO = r = jari-jari lingkaran

            AB = Panjang garis singgung

Contoh soal:

Berapa panjang PQ?

Jawab:

PQ²      = OP² - QO²

            = (13 cm)² - (5 cm)²

            = 169 cm² - 25 cm²

PQ²      = 144 cm²

PQ       = 12 cm

Jadi, panjang garis singgung PQ adalah 12 cm.

2.      Garis Singgung Dua Lingkaran

a.      Garis singgung persekutuan dalam

         

Dengan keterangan

AB atau l                     = panjang garis singgung lingkaran A dan B.

R                                 = jari-jari lingkaran besar.

r                                   = jari-jari lingkaran kecil.

OP                               = jarak pusat lingkaran A dan B.

OS                               = selisih R dengan r atau R – r

Perhatikan gambar! Garis AB seolah ditarik ke bawah hingga membentuk sebuah segitiga. Perhatikan ∆OSP, dengan teorema pythagoras diperoleh:

OP = AB² + OS²

» OP² = l² + (R – r)²

» OP² = l² + S²

Contoh soal:

Berapakah panjang AB?

Jawab:

AB = SP = l

OP²      = l² + S²

l²          = OP² - S²

            = (25 cm)² - (R – r)²

            = 625 cm² - (12 cm – 5 cm)²

            = 625 cm² - (7 cm)²

            = 625 cm² - 49 cm²

l²          = 576 cm²

l           = 24 cm

Jadi panjang garis singgung adalah 24 cm.

b.       Garis singgung persekutuan luar

     

Dengan keterangan

AB atau d                   = panjang garis singgung lingkaran A dan B.

R                                 = jari-jari lingkaran besar.

r                                   = jari-jari lingkaran kecil.

OP                               = jarak pusat lingkaran A dan B.

OS                               = jumlah R dengan r atau R + r

Perhatikan gambar! Garis AB seolah ditarik ke atas hingga membentuk sebuah segitiga. Perhatikan ∆OSP, dengan teorema pythagoras diperoleh:

OP = AB² + OS²

» OP² = d² + (R + r)²

» OP² = d² + S²

Contoh soal:

Berapakah panjang AB?

AB = SP = d

OP²      = d² + S²

d²         = OP² - S²

            = (26 cm)² - (R + r)²

            = 676 cm² - (6 cm + 4 cm)²

            = 676 cm² - (10 cm)²

            = 676 cm² - 100 cm²

d²         = 576 cm²

d          = 24 cm

Jadi panjang garis singgung adalah 24 cm.